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Pi ist gut, Tau ist besser

Jeder kennt die Kreiszahl Pi (π), aber kennen Sie auch die mathematische Konstante Tau (τ)? Tau beschreibt das Verhältnis von Kreisumfang zum Kreisradius (τ = U/r). Oder einfacher ausgedrückt: Tau ist der Umfang des Einheitskreises (Radius = 1).

Von Markus Fleschutz · 📅 17. März 2019

Im Gegensatz zu Tau beschreibt Pi das Verhältnis von Umfang zum Durchmesser des Kreises (π = U/d). Problem dabei: Kreisformeln nutzen nie den Durchmesser, sondern immer den Radius. Dieser 'Geburtsfehler' führte dazu, dass in vielen Formeln "2π" vorkommt, was exakt Tau entspricht. Der genaue Wert von Tau lautet:

τ = 6.283185307179586476925286766559...

Mit Tau statt Pi lassen sich viele Formeln vereinfachen und der Einstieg in die Kreis-Geometrie fällt leichter. Hier ein paar Beispiele:

Kreisumfang

Die Berechnung des Kreisumfangs (U), also die Länge einer Kreislinie errechnet sich allein aus dem Kreisradius (r) wie folgt:

U = τ · r

Beispiel: ein Kreis mit 7 cm Radius hat einen Umfang von 43,9... cm.

Mit Tau gelingt die Unterteilung des Kreisumfangs in Halbkreis, Viertelkreis, Achtelkreis, usw. völlig einfach und natürlich:

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Kreisfläche

Die Berechnung der Kreisfläche (A) ergibt sich allein aus dem Kreisradius (r):

A = ½τ · r²

Beispiel: ein Kreis mit 7 cm Radius hat eine Fläche von 153,9... cm.

Kreissektor

Ein Kreissektor (auch Kreisausschnitt) ist in der Geometrie die Teilfläche einer Kreisfläche, die von einem Kreisbogen und zwei Kreisradien begrenzt wird. Ein Kreissektor wird durch Radius (r) und dem Winkel (α) bestimmt.

Bogenlänge:     b = τ · r · (α / 360°)

Flächeninhalt:  A = ½τ · r² · (α / 360°) oder A = (b · r) / 2

Umfang:         U = 2·r + τ·r·(α / 360°)

Eigentlich ganz einfach: Nimm die Formel für Kreisumfang oder Kreisfläche und multipliziere sie mit dem Verhältnis des Winkels (α) zum Vollkreis (360°). Beim Umfang kommen natürlich noch die beiden Kreisradien hinzu.

Kreisring

Ein Kreisring wird gebildet aus zwei verschieden großen, konzentrischen (gleicher Mittelpunkt) Kreisen, wobei der kleinere vom größeren abgezogen wird. Ein Kreisring wird bestimmt durch Radius r1 (der größere) sowie Radius r2 (der kleinere).

Umfang:         U = τ · (r1 + r2)

Flächeninhalt:  A = ½τ · (r1² - r2²)

Volumen einer Kugel

Das Volumen (V) einer Kugel wird durch den Radius (r) wie folgt bestimmt:

V = ⅔τ · r³

Beispiel: eine Kugel mit 2 cm Radius hat ein Volumen von 33,5... cm³.

Oberfläche einer Kugel

Die Oberfläche (O) einer Kugel wird durch den Radius (r) wie folgt bestimmt:

O = 2τ · r²

Beispiel: eine Kugel mit 2 cm Radius hat ein Oberfläche von 50,3... cm².

Volumen eines Zylinders

Das Volumen (V) eines Zylinders wird aus Radius (r) und Höhe (h) bestimmt:

V = ½τ · r² · h

Beispiel: ein Zylinder mit 5 cm Radius und 10 cm Höhe hat ein Volumen von 785,4... cm³.

Oberfläche eines Zylinders

Die Oberfläche (O) eines Zylinders wird ebenfalls aus Radius (r) und Höhe (h) bestimmt:

O = τ · r² + τ · r · h

Beispiel: ein Zylinder mit 5 cm Radius und 8 cm Höhe hat eine Oberfläche von 408,4... cm².

Volumen eines Ellipsoid

Ein Ellipsoid ist die 3-dimensionale Entsprechung einer Ellipse. Das Volumen (V) eines Ellipsoid wird durch die Halbachsen (a), (b) und (c) bestimmt:

V = ⅔τ · a · b · c

Radiant

Der Radiant (Einheitenzeichen "rad") ist ein Winkelmaß, bei dem der Winkel durch die Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis angegeben wird. Wegen der Betrachtung des Kreisbogens zur Kennzeichnung des Winkels wird die Angabe „im Bogenmaß“ auch Bogenwinkel genannt.

Der Wertebereich beim Einheitskreis liegt zwischen 0 rad und τ rad (entspricht 360°, auch Vollwinkel oder Vollkreis genannt). In vielen Berechnungen der Physik und der Mathematik ist das Bogenmaß das zweckmäßigste Winkelmaß (beispielsweise bei der Winkelgeschwindigkeit sowie Sinus und Kosinus).

Hier die Umrechnung Radiant ↔ Grad beim Einheitskreis:

rad = deg · τ/360
deg = rad · 360/τ

Beispiel: ein Winkel von 90° entspricht 1,5707... rad beim Einheitskreis.

Summe aller Innenwinkel

In einem Viereck (egal ob Quadrat, Rechteck, Raute, Trapez oder Parallelogramm) beträgt die Summe aller Innenwinkel immer 360° oder τ rad:

α + β + γ + δ = 360°

In einem Dreieck (egal welche Form) beträgt die Summe aller Innenwinkel immer 180° oder ½τ rad:

α + β + γ = 180°

Sinus und Kosinus

Der Sinus eines Winkels (θ) ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel). Der Kosinus eines Winkels (θ) ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.

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Mit der Hilfe von Tau lassen sich die Sinus- und Kosinus-Werte auch leichter verdeutlichen:

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Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit ω→ wird durch einen Pseudovektor dargestellt, der die Richtung der Drehachse und die Schnelligkeit der Rotationsbewegung angibt. Die Richtung des Pseudovektors ist so orientiert, dass sie gemäß der Korkenzieherregel die Rotationsrichtung angibt. Der Betrag der Winkelgeschwindigkeit ω=|ω→| ist gleich der Ableitung des Rotationswinkels φ nach der Zeit t:

 ω = dφ / dt

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt daher:

ω = τ / T

denn in der Umlaufzeit T wird der Winkel τ durchlaufen.

Fazit

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